问题描述:

当x在实数集R上任取值时,函数f(x)相应的值等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值.
(1)求f(0)与f(3);
(2)画出f(x)的图象,写出f(x)的解析式;
(3)证明f(x)是偶函数;
(4)写出f(x)的值域.

网友答案:
解:(1)f(0)=2,f(3)=6.
(2)f(x)=
(3)当x>1时,-x<-1,所以f(-x)=-2(-x)=2x,f(x)=2x,有f(-x)=f(x);
当x<-1时,-x>1,所以f(-x)=2(-x)=-2x,f(x)=-2x,有f(-x)=f(x);
当-1≤x≤1时,f(-x)=2=f(x).
综上所述,对定义域中任意一个自变量x都有f(-x)=f(x)成立.
所以f(x)是偶函数.
(4)观察图象得,函数的值域为:[2,+∞).
解析分析:(1)当x=0时,分别计算出2x、2、-2x三个之中最大的那个值即为f(0),同理坟出f(3)=6.
(2)先根据函数f(x)相应的值等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值利用分段函数的形式写出f(x)的表达式,再分段画出其图象;
(3)当x>1时,证明f(x)=f(-x);当当x<-1时,证明f(x)=f(-x),当-1≤x≤1时,f(-x)=2=f(x).综上所述,对定义域中任意一个自变量x都有f(-x)=f(x)成立,从而得出f(x)是偶函数.
(4)观察图象得,函数的值域为:[2,+∞).

点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、分段函数的应用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
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