问题描述:

已知抛物线C1:y=-x2+2mx+n(m,n为常数,且m≠0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB.
注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为
(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式:______;
(2)当m=1时,判定△ABC的形状,并说明理由;
(3)抛物线C1上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由.

网友答案:
解:(1)y=-x2-2mx+n.

(2)当m=1时,△ABC为等腰直角三角形.
理由如下:如图:
∵点A与点B关于y轴对称,点C又在y轴上,
∴AC=BC.
过点A作抛物线C1的对称轴交x轴于D,过点C作CE⊥AD于E.
∴当m=1时,顶点A的坐标为A(1,1+n),
∴CE=1.
又∵点C的坐标为(0,n),
∴AE=1+n-n=1.
∴AE=CE.
从而∠ECA=45°,
∴∠ACy=45度.
由对称性知∠BCy=∠ACy=45°,
∴∠ACB=90度.
∴△ABC为等腰直角三角形.

(3)假设抛物线C1上存在点P,使得四边形ABCP为菱形,则PC=AB=BC.
由(2)知,AC=BC,
∴AB=BC=AC.
从而△ABC为等边三角形.
∴∠ACy=∠BCy=30度.
∵四边形ABCP为菱形,且点P在C1上,
∴点P与点C关于AD对称.
∴PC与AD的交点也为点E,
因此∠ACE=90°-30°=60度.
∵点A,C的坐标分别为A(m,m2+n),C(0,n),
∴AE=m2+n-n=m2,CE=|m|.
在Rt△ACE中,tan60°===
∴|m|=,∴m=±
故抛物线C1上存在点P,使得四边形ABCP为菱形,
此时m=±
说明:只求出m的一个值扣.
解析分析:(1)根据轴对称的性质可得:关于y轴对称,纵坐标不变,横坐标互为相反数,即可求得;
(2)根据轴对称的性质可得:AC=BC等腰三角形,借助于辅助线,又可求得∠ACy=45°,可得△ABC为等腰直角三角形;
(3)首先假设成立,根据菱形的性质求解,求得m=±,所以存在.

点评:此题考查了二次函数与四边形以及轴对称图形的综合知识,解题时要注意辅助线选择与应用,还要注意数形结合思想的应用.
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