问题描述:

如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CAB=2∠CBF.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=6,BF=8,求tan∠CBF.

网友答案:
解:(1)证明:连接AE.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠BAE+∠ABE=90°(直角三角形的两个锐角互余);
又∵AB=AC,AE⊥BC,
∴AE平分∠BAC,即∠BAE=∠CAE;
∵∠CAB=2∠CBF,
∴∠BAE=∠CBF,
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°,即AB⊥BF,
∵OB是半径,
∴BF为⊙O的切线;

(2)过点C作CG⊥BF于点G.
在Rt△ABF中,AB=6,BF=8,
∴AC=10(勾股定理);
又∵AC=AB=6
∴CF=4;
∵CG⊥BF,AB⊥BF,
∴CG∥AB,
===(平行线截线段成比例),
∴FG=
由勾股定理得:CG==
∴BG=BF-FG=8-=
在Rt△BCG中,tan∠CBF==
解析分析:(1)连接AE.欲证BF是⊙O的切线,只需证明AB⊥BF即可;(2)作辅助线CG(过点C作CG⊥BF于点G)构建平行线AB∥CG.由“平行线截线段成比例”知===,从而求得FG的值;然后根据图形中相关线段间的和差关系求得直角三角形CBG的两直角边BG、CG的长度;最后由锐角三角函数的定义来求tan∠CBF的值.

点评:本题考查了圆的综合题:切线的判定与性质、勾股定理、平行线截线段成比例、直角所对的圆周角是直角等知识点.
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