问题描述:

如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8,,CA=CD,E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E与点A、D不重合),且∠FEC=∠ACB,设DE=x,CF=y.
(1)求AC和AD的长;
(2)求y与x的函数关系式;
(3)当△EFC为等腰三角形时,求x的值.

网友答案:
解:(1)∵AD∥BC,∠B=90°,
∴∠ACB=∠CAD.
∴tan∠ACB=tan∠CAD=

∵AB=8,
∴BC=6.
则AC=10.
过点C作CH⊥AD于点H,
∴CH=AB=8,则AH=6.
∵CA=CD,
∴AD=2AH=12.

(2)∵CA=CD,
∴∠CAD=∠D.
∵∠FEC=∠ACB,∠ACB=∠CAD,
∴∠FEC=∠D.
∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D,
∴∠1=∠2.
∴△AEF∽△DCE.




(3)若△EFC为等腰三角形.
①当EC=EF时,此时△AEF≌△DCE,
∴AE=CD.
∵12-x=10,
∴x=2.
②当FC=FE时,有∠FCE=∠FEC=∠CAE,
∴CE=AE=12-x.
在Rt△CHE中,由(12-x)2=(6-x)2+82,
解得
③当CE=CF时,有∠CFE=∠CEF=∠CAE,
此时点F与点A重合,故点E与点D也重合,不合题意,舍去.
综上,当△EFC为等腰三角形时,x=2或
解析分析:(1)由AD∥BC,可得∠ACB的正切值,在直角三角形ACB中可求得到AC,在等腰三角形ACD中利用勾股定理可得底边的一半,从而求得AD的长度;
(2)利用两角对应相等求得三角形AEF与三角形DCE相似,利用其性质可求得x与y的关系;
(3)对于等腰三角形要分别分三种情况进行逐一进行分析,分别求出x的值.

点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、直角梯形及锐角三角形函数的定义等知识;应用相似的性质,得到比例式,借助比例式解题是很重要的方法,做题时注意应用,对于等腰三角形问题要注意分类讨论也是比较重要的,注意掌握.
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