问题描述:

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=2AD,F、E分别是BA、BC的中点,则下列结论不正确的是A.△ABC是等腰三角形B.四边形EFAM是菱形C.S△BEF=S△ACDD.DE平分∠CDF

网友答案:
D
解析分析:连接AE,由E为BC的中点,得到BE=CE,再由BC=2AD,可得出AD=BE=CE,再由AD与BC平行,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出四边形ABED与四边形AECD都为平行四边形,再由∠BCD=90°,利用有一个角为直角的平行四边形是矩形得出四边形AECD为矩形,利用矩形的四个角为直角可得出AE垂直于BC,得到AE垂直平分BC,利用线段垂直平分线定理得到AB=AC,即△ABC为等腰三角形,故选项A正确,不合题意;由EF为△ABC的中位线,利用中位线定理得到EF平行于AC,且等于AC的一半,进而得到四边形AFEM为平行四边形,再由AF等于AB的一半,即为AC的一半,得到邻边AF=EF,可得出四边形AFEM为菱形,选项B正确,不合题意;过F作FN垂直于BC,可得出FN与AE平行,由F为AB的中点,得到N为BE的中点,即FN为△ABE的中位线,得到FN等于AE的一半,即为DC的一半,再由BE=AD,可得出△BEF与△ADC底相等,高FN为CD的一半,可得出△BEF的面积为△ADC面积的一半,选项C正确,不合题意;而DE不一定为角平分线,选项D错误,符合题意.

解答:解:连接AE,如右图所示,∵E为BC的中点,∴BE=CE=BC,又BC=2AD,∴AD=BE=EC,又AD∥BC,∴四边形ABED为平行四边形,四边形AECD为平行四边形,又∵∠DCB=90°,∴四边形AECD为矩形,∴∠AEC=90°,即AE⊥BC,∴AE垂直平分BC,∴AB=AC,即△ABC为等腰三角形,故选项A不合题意;∵E为BC的中点,F为AB的中点,∴EF为△ABC的中位线,∴EF∥AC,EF=AC,又∵四边形ABED为平行四边形,∴AF∥ME,∴四边形AFEM为平行四边形,又∵AF=AB=AC=EF,∴四边形AFEM为菱形,故选项B不合题意;过F作FN⊥BC于N点,可得FN∥AE,又∵F为AB的中点,∴N为BE的中点,∴FN为△ABE的中位线,∴FN=AE,又∵AE=DC,BE=AD,∴S△BEF=S△ACD,故选项C不合题意;DE不一定平分∠CDF,故选项D符合题意.故选D.

点评:此题考查了直角梯形的性质,涉及的知识有:矩形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,三角形的中位线定理,以及等腰三角形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
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